基础知识
1. 公式
(1). \( {S}_{\Delta } = \frac{1}{2}a{h}_{a} = \frac{1}{2}b{h}_{b} = \frac{1}{2}c{h}_{c} \) (1)
(2). 设 \( {h}_{a} = b\sin C,{h}_{b} = \mathrm{c}\sin A \) ，且 \( {h}_{c} = a\sin B \) 。方程(1)变为:
\[ {S}_{\Delta } = \frac{1}{2}{bc}\sin A = \frac{1}{2}{ac}\sin B = \frac{1}{2}{ab}\sin C \tag{2} \]
(3). 海伦公式(有时称为希罗公式):
\[ {S}_{\Delta } = \sqrt{s\left( {s - a}\right) \left( {s - b}\right) \left( {s - c}\right) } \tag{3} \]
\( s = \frac{1}{2}\left( {a + b + c}\right) . \)
(3)的证明:
已知 \( a, b \) ，且 \( c \) 。令 \( {BD} = x.{DC} = a - x \) 。
根据勾股定理， \( {c}^{2} - {x}^{2} = {b}^{2} - {\left( a - x\right) }^{2} = {h}_{a}^{2} \) 。
解出 \( x \) ，我们得到: \( x = \frac{{a}^{2} + {c}^{2} - {b}^{2}}{2a} \) 。
因此 \( {h}_{a}^{2} = {c}^{2} - {\left( \frac{{a}^{2} + {c}^{2} - {b}^{2}}{2a}\right) }^{2} = \frac{4{a}^{2}{c}^{2} - {\left( {a}^{2} + {c}^{2} - {b}^{2}\right) }^{2}}{4{a}^{2}} \)
\( = \frac{1}{4{a}^{2}}\left( {{2ac} + {a}^{2} + {c}^{2} - {b}^{2}}\right) \left( {{2ac} - {a}^{2} - {c}^{2} + {b}^{2}}\right) = \frac{1}{4{a}^{2}}\left\lbrack {{\left( a + c\right) }^{2} - {b}^{2}}\right) \left( {{b}^{2} - {\left( a - c\right) }^{2}}\right\rbrack \)
\[ = \frac{1}{4{a}^{2}}\left( {a + b + c}\right) \left( {a - b + c}\right) \left( {a + b - c}\right) \left( {-a + b + c}\right) = \frac{1}{4{a}^{2}}s\left( {s - a}\right) \left( {s - b}\right) \left( {s - c}\right) \]
\[ \text{Or}\frac{{h}_{a}^{2} \times {a}^{2}}{4} = s\left( {s - a}\right) \left( {s - b}\right) \left( {s - c}\right) \Rightarrow {\left( \frac{{h}_{a} \times a}{2}\right) }^{2} = s\left( {s - a}\right) \left( {s - b}\right) \left( {s - c}\right) \]
\[ \Rightarrow {S}_{\Delta } = \sqrt{s\left( {s - a}\right) \left( {s - b}\right) \left( {s - c}\right) }\text{.} \]
(4). 两个相似三角形 \( {ABC} \) 与 \( {A1B1C1} \) 的面积之比为:
\[ \frac{{S}_{\bigtriangleup {ABC}}}{{S}_{\bigtriangleup {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}} = {\left( \frac{a}{{a}_{1}}\right) }^{2} = {\left( \frac{h}{{h}_{1}}\right) }^{2} = {\left( \frac{m}{{m}_{1}}\right) }^{2} = {\left( \frac{e}{{e}_{1}}\right) }^{2} \tag{4} \]
\( a \) 与 \( {a}_{1} \) 为任意一对对应边的长度。
\( h \) 与 \( {h}_{1} \) 为对应高的长度。
\( m \) 与 \( {m}_{1} \) 为对应中线的长度。
\( e \) 与 \( {e}_{1} \) 为对应角平分线的长度。
2. 定理
定理1:任意两个三角形的面积之比为:
\[ \frac{{S}_{\Delta ABC}}{{S}_{\Delta {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}} = \frac{\frac{1}{2} \times {AB} \times H}{\frac{1}{2} \times {A}_{1}{B}_{1} \times {H}_{1}} = \frac{{AB} \times H}{{A}_{1}{B}_{1} \times {H}_{1}} \tag{5} \]
定理2:若两个三角形具有相同的底边，则其面积之比等于对应高之比。
\[ \frac{{S}_{\Delta ABD}}{{S}_{\Delta ABC}} = \frac{H}{h} \tag{6} \]
定理3:若两个三角形具有相同的高，则其面积之比等于对应底边之比。
\[ \frac{{S}_{\Delta ABC}}{{S}_{\Delta ADC}} = \frac{AB}{AD};\frac{{S}_{\Delta ABC}}{{S}_{\Delta DBC}} = \frac{AB}{DB};\frac{{S}_{\Delta ADC}}{{S}_{\Delta BDC}} = \frac{AD}{DB} \tag{7} \]
定理4(a):若 \( {AB}//{CD} \) ，则 \( {S}_{\Delta AED} = {S}_{\Delta BEC} \) 。
证明:
我们知道 \( {S}_{\Delta 4BD} = {S}_{\Delta 4BC} \) (同底同高)。
因此 \( {S}_{\Delta ABD} - {S}_{\Delta ABE} = {S}_{\Delta ABC} - {S}_{\Delta ABE} \)
于是 \( {S}_{\Delta AED} = {S}_{\Delta BEC} \) 。
4(b):若 \( {S}_{\Delta AED} = {S}_{\Delta BEC} \) ，则 \( {AB}//{CD} \) 。
定理5: \( \frac{{S}_{\Delta AED}}{{S}_{\Delta BED}} = \frac{AD}{DB} \) (8)
定理6: \( \frac{{S}_{\Delta AEC}}{{S}_{\Delta BEC}} = \frac{AD}{DB} \) (9)
证明:
我们知道 \( \frac{{S}_{\bigtriangleup {ACD}}}{{S}_{\bigtriangleup {BCD}}} = \frac{AD}{DB} \) 且 \( \frac{{S}_{\bigtriangleup {AED}}}{{S}_{\bigtriangleup {BED}}} = \frac{AD}{DB} \) 。
于是得到 \( \frac{{S}_{\Delta ACD}}{{S}_{\Delta BCD}} = \frac{{S}_{\Delta AED}}{{S}_{\Delta BED}} = \frac{AD}{DB} \) 。
根据比例性质 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a - c}{b - d} \) ，我们有 \( \frac{{S}_{\Delta ACD} - {S}_{\Delta AED}}{{S}_{\Delta BCD} - {S}_{\Delta BED}} = \)
\[ \frac{{S}_{\Delta AEC}}{{S}_{\Delta BEC}} = \frac{AD}{DB}. \]
定理7: \( \frac{{S}_{\Delta ACB}}{{S}_{\Delta AEB}} = \frac{CD}{ED} \) (10)
证明:
由定理3(Theorem 3)可知 \( \frac{{S}_{\bigtriangleup {ACD}}}{{S}_{\bigtriangleup {AED}}} = \frac{CD}{ED} \) 且
\( \frac{{S}_{\Delta BCD}}{{S}_{\Delta BED}} = \frac{CD}{ED}. \)
于是我们有 \( \frac{{S}_{\Delta ACD}}{{S}_{\Delta AED}} = \frac{{S}_{\Delta BCD}}{{S}_{\Delta BED}} = \frac{CD}{ED} \) 。
根据比例性质 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} \) ，我们得到
\( \frac{{S}_{\Delta ADC} + {S}_{\Delta BCD}}{{S}_{\Delta AED} + {S}_{\Delta BED}} = \frac{CD}{ED} \Rightarrow \frac{{S}_{\Delta ACB}}{{S}_{\Delta AEB}} = \frac{CD}{ED}. \)
定理8(Theorem 8): \( \frac{{S}_{\Delta ACE}}{{S}_{\Delta BCE}} = \frac{AD}{BD} \) (11)
证明:
如图所示作高 \( {AH} \) 和 \( {BN} \) 。由定理2(Theorem 2)可知
\( \frac{{S}_{\Delta ACE}}{{S}_{\Delta BCE}} = \frac{AH}{BN} \) 与 \( \frac{{S}_{\Delta BEC}}{{S}_{\Delta BED}} = \frac{CE}{ED}. \)
\( \bigtriangleup {AHD} \) 与 \( \bigtriangleup {BND} \) 相似，因此 \( \frac{AH}{BN} = \frac{AD}{BD} \)
于是 \( \frac{{S}_{\Delta ACE}}{{S}_{\Delta BCE}} = \frac{AD}{BD} \) 。
定理9(Theorem 9): \( \frac{{S}_{\Delta ACE}}{{S}_{\Delta BCE}} = \frac{AD}{DB} \) (12)
例题
例1. 三角形 \( {ABC} \) 为直角三角形，且 \( \angle A = {90}^{ \circ }.{AB} = {16}\mathrm{\;{cm}} \) ， \( {AC} \) \( = {12}\mathrm{\;{cm}}.D \) 为 \( {AC} \) 的中点，求四边形 \( {ABED} \) 的面积(平方厘米)。
(A) \( \frac{216}{25} \) (B) \( \frac{2184}{25} \) (C) \( \frac{2616}{25} \) (D) 87 (E) 78
解答:(B)。
三角形 \( {ABC} \) 是边长为12-16-20的直角三角形。 \( {BC} = {20} \) 。
\( {S}_{\bigtriangleup {ABC}} = \frac{1}{2}{AB} \times {AC} = \frac{1}{2} \times {16} \times {12} = {96}. \)
\( {\Delta CDE} \sim {\Delta CBA},{\left( \frac{CD}{BC}\right) }^{2} = \frac{{S}_{\Delta CDE}}{{S}_{\Delta ABC}} \Rightarrow {\left( \frac{6}{20}\right) }^{2} = \frac{{S}_{\Delta CDE}}{{S}_{\Delta ABC}} = \frac{9}{100} \)
\( \Rightarrow {S}_{\bigtriangleup {CDE}} = \frac{9}{100}{S}_{\bigtriangleup {ABC}} = \frac{216}{25} \) .
答案为 \( {96} - \frac{216}{25} = \frac{2184}{25} \) 。
例2. 一个3×3的正方形与一个9×9的正方形相邻，且两个顶点按图示连接。求阴影区域的面积。
(A) 54 (B) \( \frac{486}{9} \) (C) \( \frac{243}{8} \) (D) \( \frac{16}{9} \) (E) 30
解答:(C)。
三角形 \( {ADE} \) 的面积为 \( {S}_{\Delta ADE} = \frac{\left( {3 + 9}\right) \times 9}{2} = {54} \)
三角形 \( {EFC} \) 与三角形 \( {ADE} \) 相似。
三角形 \( {EFC} \) 的面积可如下求得:
\[ \frac{{S}_{\Delta EFC}}{{S}_{\Delta ADE}} = {\left( \frac{9}{12}\right) }^{2} = {\left( \frac{3}{4}\right) }^{2} = \frac{9}{16} \Rightarrow \]
\[ {S}_{\Delta EFC} = \frac{9}{16}{S}_{\Delta ADE} = \frac{9}{16} \times {54} = \frac{243}{8}. \]
例3. 在图中， \( {AE} = 6,{EB} = 7 \) ，且 \( {BC} = 5 \) 。求四边形 \( {EBCD} \) 的面积？
(A) 4 (B) 15 (C) \( \frac{15}{2} \) (D) \( \frac{25}{2} \) (E) \( \frac{45}{2} \)
解答:(E)。
设三角形 \( {ABC} \) 的面积为 \( {S}_{\Delta ABC} \) ， \( {ADE} \) 的面积为 \( {S}_{\Delta ADE} \) ，四边形 \( {EBCD} \) 的面积为 \( {S}_{\bigtriangleup {EBCD}} \) 。
三角形 \( {ABC} \) 是一个5-12-13的直角三角形，且与三角形 \( {ADE} \) 相似，因此:
\[ \frac{{S}_{\bigtriangleup {ADE}}}{{S}_{\bigtriangleup {ABC}}} = {\left( \frac{AE}{AC}\right) }^{2} = {\left( \frac{6}{12}\right) }^{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow {S}_{\bigtriangleup {ADE}} = \frac{1}{4} \times {S}_{\bigtriangleup {ABC}} = \frac{1}{4} \times \frac{5 \times {12}}{2} = \frac{15}{2} \]
\( {S}_{EBCD} = {S}_{\Delta ABC} - {S}_{\Delta ADE} = \frac{5 \times {12}}{2} - \frac{15}{2} = \frac{{60} - {15}}{2} = \frac{45}{2}. \)
例4. 如图所示，三角形 \( {ABC} \) 的面积为50。点 \( D, E \) 、 \( F \) 分别位于边 \( {AC},{AB} \) 、 \( {BC} \) 上，且 \( {AD} = 9 \) 、 \( {DC} = 6 \) 。若三角形 \( {CDG} \) 与 \( {EFG} \) 面积相等，求三角形 \( {BCE} \) 的面积。
(A) 40 (B) 15 (C) 20
解答:(C)。
连接 \( {DE} \) 。由于三角形 \( {DCG} \) 与三角形 \( {EFG},{FC}//{ED} \) 面积相等，且 \( \bigtriangleup {AED} \) 与 \( \bigtriangleup {ABC} \) 相似。
\[ \frac{{S}_{\bigtriangleup {AED}}}{{S}_{\bigtriangleup {ABC}}} = {\left( \frac{9}{15}\right) }^{2} = \frac{9}{25} \Rightarrow {S}_{\bigtriangleup {AED}} = {\left( \frac{9}{15}\right) }^{2} = \frac{9}{25} \times {S}_{\bigtriangleup {ABC}} = {18}. \]
\[ \frac{{S}_{\bigtriangleup {DCE}}}{{S}_{\bigtriangleup {AED}}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\; \Rightarrow {S}_{\bigtriangleup {DCE}} = \frac{2}{3} \times {S}_{\bigtriangleup {AED}} = \frac{2}{3} \times {18} = {12} \]
\[ {S}_{\Delta ACE} = {S}_{\Delta AED} + {S}_{\Delta DCE} = {18} + {12} = {30}. \]
\[ {S}_{\Delta BCE} = {S}_{\Delta ABC} - {S}_{\Delta ACE} = {50} - {30} = {20}. \]
例5. (1984 AIME) 在 \( \bigtriangleup {ABC} \) 内部取一点 \( P \) ，使得过 \( P \) 作平行于 \( {\Delta ABC} \) 各边的直线，所得的小三角形 \( {t}_{1},{t}_{2} \) 、 \( {t}_{3} \) 的面积分别为4、9和49。求 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的面积。
解答:144。
方法一:
设 \( R \) 和 \( T \) 为通过 \( P \) 作平行线与 \( {AB} \) 相交的两点，其中 \( R \) 更靠近 \( A \) 。
区域 \( {t}_{1},{t}_{2} \) 与 \( {t}_{3} \) 对应边之比为:
\( {PM} : {PN} : {RT} = \sqrt{4} : \sqrt{9} : \sqrt{49} = 2 : 3 : 7. \)
即 \( {AR} : {RT} : {BT} = 2 : 3 : 7 \) 。
\[ {AB} : {RT} = {12} : 7\text{.} \]
\[ {S}_{\Delta ABC} : {S}_{\Delta PRT} = {\left( AB : RT\right) }^{2} = {12}^{2} : {7}^{2}. \]
因此 \( {S}_{\Delta ABC} = \frac{144}{49} \times {49} = {144} \) 。
方法二(我们的解法):
设 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的面积为 \( S \) 。已知 \( {t}_{1},{t}_{2},{t}_{3} \) 均与 \( \bigtriangleup {ABC} \) 相似，并按图中所示标记各三角形的边。
计算时我们使用三角形 \( {t}_{2}\left( {\Delta PNQ}\right) \) (也可使用 \( \left( {t}_{1}\right. \) 或 \( {t}_{3} \) ):
\[ \frac{9}{S} = {\left( \frac{3x}{12x}\right) }^{2} \Rightarrow \;\frac{9}{S} = {\left( \frac{1}{4}\right) }^{2} = \frac{1}{16} \]
\[ \Rightarrow \;S = 9 \times {16} = {144}\text{. } \]
例6. 在 \( \bigtriangleup {ABC},\angle A = {90}^{ \circ }.{AB} = {AC}.D \) 中， \( {BC} \) 上有一点 \( {DC} = \frac{1}{3}{BC} \) 使得 \( {DC} = \frac{1}{3}{BC} \) 。连接 \( {AD}.E \) ， \( {AC} \) 上有一点 \( {BE} \bot {AD} \) 使得 \( {BE} \bot {AD} \) 。若 \( {AE} = 8 \) ，求 \( {EC} \) 的长度。(A)4(B)7(C)6(D)8(E)2
解答:(D)。
设 \( \angle {DAE} = \alpha ,\angle {DAB} = \beta \) 。因为 \( {BE} \bot {AD},\angle {ABE} = \alpha ,\angle {AEB} = \beta \) 。 \( \frac{DC}{BD} = \frac{{S}_{\Delta ADC}}{{S}_{\Delta ADB}} = \frac{\frac{1}{2}{AD} \cdot {AC}\sin \alpha }{\frac{1}{2}{AB} \cdot {AD}\sin \beta } = \frac{\sin \alpha }{\sin \beta } = \frac{AE}{AB} = \frac{AE}{AC}. \)
已知 \( {DC} = \frac{1}{3}{BC} \) ，所以 \( {BD} = {2DC} \) 且 \( \frac{DC}{2DC} = \frac{AE}{AC} \)
\( \Rightarrow {AC} = {2AE} \) .
于是 \( {EC} = {AE} = 8 \) 。
例7. 在 \( \bigtriangleup {ABC},{AB} = 3 \) 中， \( {BC} = 6.D \) 为 \( {AC}, E \) 上一点， \( {AB} \) 为 \( F \) 上一点，且 \( {BC} \) 上有一点 \( {BFDE} \) 使得 \( {BFDE} \) 为菱形。求菱形BFDE的周长。
(A)4(B)7(C)6(D)8(E)2
解答:(D)。
设菱形的边长为 \( x \) 。
该角标记为 \( \alpha \) 。
\( {S}_{\Delta ABC} = {S}_{\Delta AED} + {S}_{\Delta DFC} + {S}_{BFDE} \Rightarrow \frac{1}{2}{AB} \times {BC}\sin \alpha \)
\( = \frac{1}{2}{AE} \times {ED}\sin \alpha + \frac{1}{2}{DF} \times {FC}\sin \alpha + \frac{1}{2}{BE} \times {BF}\sin \alpha \times 2 \)
\( \Rightarrow {AB} \times {BC} = {AE} \times {ED} + {DF} \times {FC} + {2BE} \times {BF} \)
\( \Rightarrow 3 \times 6 = \left( {3 - x}\right) x + x \times \left( {6 - x}\right) + {2x} \times x \Rightarrow {18} = {3x} - {x}^{2} + {6x} - {x}^{2} + 2{x}^{2} \)
\( {18} = {9x}\; \Rightarrow \;x = 2 \) ，答案为 \( 4 \times 2 = 8 \) 。
例8.(2005 AMC 10A 第25题)在 \( \bigtriangleup {ABC} \) 中，我们有 \( {AB} = {25},{BC} = {39} \) ，且 \( {AC} = {42} \) 。点 \( D \) 和 \( E \) 分别位于 \( {AB} \) 和 \( {AC} \) 上，满足 \( {AD} = {19} \) 和 \( {AE} = {14} \) 。求三角形 \( {ADE} \) 的面积与四边形 \( {BCED} \) 的面积之比。
(A) 266/1521 (B) 19/75 (C) \( 1/3 \) (D) \( {19}/{56} \) (E) 1
解答:(D)。
方法1(官方解答):
我们有 \( \frac{\operatorname{Area}\left( {ADE}\right) }{\operatorname{Area}\left( {ABE}\right) } = \frac{AD}{AB} = \frac{19}{25} \) 且
\( \frac{\operatorname{Area}\left( {ABE}\right) }{\operatorname{Area}\left( {ABC}\right) } = \frac{AE}{AC} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3} \) ，因此 \( \frac{\operatorname{Area}\left( {ABC}\right) }{\operatorname{Area}\left( {ADE}\right) } = \frac{25}{19} \cdot \frac{3}{1} = \frac{75}{19} \) ，且
\( \frac{\operatorname{Area}\left( {BCDE}\right) }{\operatorname{Area}\left( {ADE}\right) } = \frac{\operatorname{Area}\left( {ABC}\right) - \operatorname{Area}\left( {ADE}\right) }{\operatorname{Area}\left( {ADE}\right) } = \frac{75}{19} - 1 = \frac{56}{19}. \)
于是 \( \frac{\text{ Area }\left( {ADE}\right) }{\text{ Area }\left( {BCDE}\right) } = \frac{19}{56} \)
方法2(我们的解答):
根据公式2: \( {S}_{\Delta } = \frac{1}{2}{bc}\sin A = \frac{1}{2}{ac}\sin B = \frac{1}{2}{ab}\sin C \)
\( \frac{{S}_{BCED}}{{S}_{\Delta ADE}} = \frac{{S}_{\Delta ABC} - {S}_{ADE}}{{S}_{ADE}} = \frac{\frac{1}{2} \times {25} \times {42}\sin \angle A - \frac{1}{2} \times {19} \times {14}\sin \angle A}{\frac{1}{2} \times {19} \times {14}\sin \angle A} \)
\( = \frac{\frac{1}{2} \times {25} \times {42}\sin \angle A}{\frac{1}{2} \times {19} \times {14}\sin \angle A} - 1 = \frac{{25} \times {42}}{{19} \times {14}} - 1 = \frac{75}{19} - 1 = \frac{56}{19} \) 。因此 \( \frac{{S}_{\bigtriangleup {MDE}}}{{S}_{BCED}} = \frac{19}{56} \) 。
例9. 在三角形中， \( {ABC},{AB} = 6 \) 单位， \( {AC} = 3 \) 单位。点 \( D \) 位于线段 \( {BC} \) 上，使得 \( {BD} : {DC} = 2 : 1 \) 。若 \( {AD} = 2 \) 单位，则线段 \( {BC} \) 的最短可能长度是多少？
(A) \( \sqrt{7} \) (B) \( \sqrt{11} \) (C) \( 3\sqrt{7} \) (D) \( 3\sqrt{11} \) (E) \( 3\sqrt{18} \)
解答:(C)。
设 \( {CD} = x \) 且 \( {BD} = {2x} \) 。
三角形 \( {ACD} \) 的面积为:
\[ {S}_{\Delta ACD} = \sqrt{s\left( {s - a}\right) \left( {s - b}\right) \left( {s - c}\right) }, \]
其中 \( s = \frac{1}{2}\left( {3 + 2 + x}\right) = \frac{1}{2}\left( {5 + x}\right) \) 。
因此 \( {S}_{\bigtriangleup {ACD}} = \sqrt{s\left( {s - a}\right) \left( {s - b}\right) \left( {s - c}\right) } = \sqrt{\frac{5 + x}{2}\left( {\frac{5 + x}{2} - 3}\right) \left( {\frac{5 + x}{2} - 2}\right) \left( {\frac{5 + x}{2} - x}\right) } \)
\[ = \sqrt{\frac{5 + x}{2}\left( \frac{x - 1}{2}\right) \left( \frac{x + 1}{2}\right) \left( \frac{5 - x}{2}\right) }\text{.} \]
三角形 \( {ABD} \) 的面积为:
\( {S}_{\Delta ABD} = \sqrt{s\left( {s - a}\right) \left( {s - b}\right) \left( {s - c}\right) } \) ，其中 \( s = \frac{1}{2}\left( {2 + 6 + {2x}}\right) = 4 + x \) 。
因此 \( {S}_{\Delta 4BD} = \sqrt{s\left( {s - a}\right) \left( {s - b}\right) \left( {s - c}\right) } \)
\[ = \sqrt{\left( {4 + x}\right) \left( {4 + x - 2}\right) \left( {4 + x - 6}\right) \left( {4 + x - {2x}}\right) } \]
\[ = \sqrt{\left( {4 + x}\right) \left( {x + 2}\right) \left( {x - 2}\right) \left( {4 - x}\right) }\text{.} \]
由于 \( {BD} : {DC} = 2 : 1,\frac{{S}_{\Delta ABD}}{{S}_{\Delta ACD}} = \frac{2}{1}\; \Rightarrow \;{S}_{\Delta ABD} = 2{S}_{\Delta ACD} \)
\( \sqrt{\left( {4 + x}\right) \left( {x + 2}\right) \left( {x - 2}\right) \left( {4 - x}\right) } = 2\sqrt{\frac{5 + x}{2}\left( \frac{x - 1}{2}\right) \left( \frac{x + 1}{2}\right) \left( \frac{5 - x}{2}\right) } \)
\( \Rightarrow \;\left( {4 + x}\right) \left( {4 - x}\right) \left( {x + 2}\right) \left( {x - 2}\right) = 4\left( \frac{5 + x}{2}\right) \left( \frac{x - 1}{2}\right) \left( \frac{x + 1}{2}\right) \left( \frac{5 - x}{2}\right) \)
\[ \Rightarrow \;4\left( {{16} - {x}^{2}}\right) \left( {{x}^{2} - 4}\right) = \left( {{25} - {x}^{2}}\right) \left( {{x}^{2} - 1}\right) \]
\[ \Rightarrow \;3{x}^{4} - {54}{x}^{2} + {231} = 0 \]
\[ \Rightarrow \left( {3{x}^{2} - {33}}\right) \left( {{x}^{2} - 7}\right) = 0 \Rightarrow {x}^{2} = 7\text{ or }{x}^{2} = {11}\text{. } \]
由于我们要求最小值，故 \( {x}^{2} = 7 \Rightarrow x = \sqrt{7} \) 。
\[ {BC} = {3x} = 3\sqrt{7}\text{.} \]
例10. 两个正方形按图示拼接。 \( {AB} = {16} \) 。连接 \( {AC} \) 与 \( {AF} \) 。求阴影面积。
(A) 126 (B) 162 (C) 128 (D) 182 (E) 256
解答:(C)。
我们连接 \( {BF} \) ，并知 \( {AC}//{BF} \) 。因此三角形 \( {ABH} \) 的面积与三角形 \( {CHF} \) 的面积相等。阴影部分为三角形 \( {ACF} \) 的面积，与三角形 \( {ABC} \) 的面积相同，即 \( {16} \times {16} \div 2 = \) 128。
例11. (1984 AMC) 在钝角三角形 \( {ABC},{AM} = {MB},{MD} \bot {BC},{EC} \) 中 \( \bot {BC} \) 。若 \( {\Delta ABC} \) 的面积为24，求 \( {\Delta BED} \) 的面积。(A) 9 (B) 12 (C) 15
解答:(B)。
连接 \( {MC} \) (图1)。
因为 \( {MD} \) 与 \( {EC} \) 平行，图2中的着色区域面积相同。 \( \bigtriangleup {BED} \) 的面积与 \( \bigtriangleup {BMC} \) 的面积相同(图3)，且为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 面积的一半(图4)。答案为 \( {24}/2 = {12} \) 。
图1
图2
图3
图4
例12.(1983 AMC第28题)图中三角形 \( {ABC} \) 的面积为10。点 \( D, E \) 、 \( F \) 均异于 \( A, B \) 和 \( C \) ，分别位于边 \( {AB},{BC} \) 和 \( {CA} \) 上，且 \( {AD} = 2,{DB} = 3 \) 。若三角形 \( {ABE} \) 与四边形 \( {DBEF} \) 面积相等，求该面积。(A)4(B)5(C)6(D) \( 3\frac{5\sqrt{10}}{3} \) 。(E)无法唯一确定
解答:(C)。
方法1(官方解答):
作直线 \( {DE} \) 。因为面积 \( {ABE} = \) 面积 \( {ADE} + \) 面积 \( {DBE} \) ，
且面积 \( {DBEF} = \) 面积 \( {FDE} + \) 面积 \( {DBE} \) ，可得面积 \( {ADE} = \) 面积
\( {FDE} \) 。由于这两个三角形共底 \( {DE} \) ，该底上的高必相等。即 \( A \) 与 \( F \) 到直线 \( {DE} \) 的距离相等，故 \( {AF}//{DE} \) 。于是，
利用相似三角形 \( {ABC} \) 与 \( {DBE},\frac{EB}{CB} = \frac{DB}{AB} = \frac{3}{5} \) 。
因此面积 \( {ABE} = \left( {3/5}\right) \) 面积 \( {ABC} = 6 \) 。
方法2(我们的解法):
我们知道 \( {S}_{\Delta ABE} = {S}_{DBEF} \Rightarrow {S}_{\Delta ABE} - {S}_{\Delta DBE} = {S}_{DBEF} - {S}_{\Delta DBE} \)
\( \Rightarrow \;{S}_{\bigtriangleup {ADE}} = {S}_{\bigtriangleup {DEF}} \)
因此 \( {S}_{\bigtriangleup {ADG}} = {S}_{\bigtriangleup {EFG}} \) 。
根据定理4(b)，AF[DE。
所以 \( \bigtriangleup {ABC} \) 与 \( \bigtriangleup {DBE} \) 相似。
\( \frac{AD}{CE} = \frac{DB}{BE} \Rightarrow \frac{2}{CE} = \frac{3}{BE} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{CE}{BE} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{{S}_{\Delta ACE}}{{S}_{\Delta ABE}} \)
\[ {S}_{\bigtriangleup {ABE}} = \frac{3}{3 + 2} \times {10} = 6. \]
例13.(2005 AMC 10 B)边长为2的等边三角形 \( \bigtriangleup {ABC} \) ， \( M \) 是 \( {AC} \) 的中点，且 \( C \) 是 \( {BD} \) 的中点。求 \( {\Delta CDM} \) 的面积？
(A) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) (B) \( \frac{3}{4} \) (C) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) (D)1 (E) \( \sqrt{2} \)
解答:(C)。
方法1(官方解答):
作 \( {MQ} \) 垂直于 \( {BC} \) 。则 \( {\Delta MQC} \) 是一个 \( {30} - {60} - {90}^{ \circ } \) 三角形，所以
\( {MQ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 且 \( \bigtriangleup {CDM} \) 的面积为 \( \frac{1}{2}\left( {2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
方法2(官方解答):
三角形 \( {ABC} \) 与 \( {CDM} \) 的底边相等。因为 \( M \) 是 \( {AC} \) 的中点，
从 \( M \) 与从 \( A \) 所作高之比为 \( 1 = 2 \) 。因此 \( 4\mathrm{{CDM}} \) 的面积为 \( {4ABC} \) 面积的一半。由于面积 \( \left( {\Delta ABC}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4}{\left( 2\right) }^{2} = \sqrt{3} \) ，故面积 \( \left( {\bigtriangleup {CDM}}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 。
方法3(我们的解答):
连接 \( {AD} \) 。
因为 \( M \) 是 \( {AC},{S}_{\Delta ADM} = {S}_{\Delta CDM} \) 的中点。
因为 \( C \) 是 \( {BD} \) 的中点，
\( {S}_{\Delta BAC} = {S}_{\Delta DAC} = 2{S}_{\Delta CDM} \) .
\( \bigtriangleup {ABC} \) 的面积为 \( \frac{\sqrt{3}}{4}{\left( 2\right) }^{2} = \sqrt{3} \) 。
因此 \( \bigtriangleup {CDM} \) 的面积为 \( \frac{1}{2}\left( {S}_{\bigtriangleup {BAC}}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 。
例14. \( {ABC} \) 为边长等于 \( 2\mathrm{\;{cm}}.{BC} \) 的等边三角形，将其延长自身长度至 \( D \) ，且 \( E \) 为 \( {AB}.{ED} \) 的中点，与 \( {AC} \) 交于 \( F \) 。求四边形 \( {BEFC} \) 的面积(单位:平方厘米)。
(A) \( \frac{2}{3}\sqrt{3} \) (B) \( \frac{2}{3}\sqrt{2} \) (C) \( \frac{3}{2}\sqrt{3} \) (D) \( \frac{1}{3}\sqrt{3} \) (E) \( \sqrt{3} \)
解答:(A)。
方法一:
连接 \( {CE} \) 。按图1所示标记各区域。
\[ \frac{{S}_{\Delta ACE}}{{S}_{\Delta BCE}} = \frac{AE}{EB} = 1\; \Rightarrow \;{S}_{\Delta ACE} = {S}_{\Delta BCE} = x + z. \]
\[ \frac{{S}_{\Delta BEC}}{{S}_{\Delta DCE}} = \frac{BC}{CD} = 1\; \Rightarrow \;{S}_{\Delta BCE} = {S}_{\Delta DCE} = x + z = y + z\text{. So }y = x. \]
连接 \( {BF} \) 。按图2所示标记各区域。
已知 \( y = x \) 。因此四个三角形面积相等。
已知 \( x = \frac{1}{3} \times \frac{{2}^{2}}{4}\sqrt{3} = \frac{1}{3}\sqrt{3} \) 。
图1
图2
图3
方法二:
连接 \( {AD} \) 且 \( {BG}.F \) 为重心，六个小三角形面积相等。
因此 \( {3x} = \frac{{2}^{2}}{4}\sqrt{3} = \sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow {2x} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \) 。
例15(AMC)在三角形 \( {ABC},\angle {CBA} = {72}^{ \circ }, E \) 中， \( {AC} \) 是边 \( D \) 的中点， \( {BC} \) 是边 \( {2BD} = {DC};{AD} \) 上的一点，使得 \( {BE} \) 与 \( F \) 交于 \( \bigtriangleup {BDF} \) 。 \( {FDCE} \) 的面积与四边形
(A) \( \frac{1}{5} \) (B) \( \frac{1}{4} \) (C) \( \frac{1}{3} \) (D) \( \frac{2}{5} \) (E) 以上都不是
解答:(A)。
(我们的第一种解法)
连接 \( {CF} \) 。
已知 \( E \) 是 \( {AC} \) 的中点，所以 \( {AE} = {EC} \) 。
\( {S}_{\Delta BAE} = {S}_{\Delta BEC} \) 与 \( {S}_{\Delta FAE} = {S}_{\Delta FEC} \) 。
我们还知道 \( {2BD} = {DC} \) ，所以 \( 2{S}_{\Delta BFD} = {S}_{\Delta DFC} \) 。
现在，我们准备按右图所示，用 \( a, b \) 和 \( c \) 标记各区域面积。
我们有: \( 2\left( {b + a}\right) = {2a} + {2c} \Rightarrow b = c \)
\[ b + c = a + {2a} + c\; \Rightarrow \;c = {3a} \]
因此， \( {\Delta BDF} \) 的面积与四边形 \( {FDCE} \) 的面积之比为
\( \frac{{S}_{\Delta BDF}}{{S}_{FDCE}} = \frac{a}{{2a} + c} = \frac{a}{{2a} + {3a}} = \frac{a}{5a} = \frac{1}{5}. \)
例16. 如图所示，三角形 \( {ABC} \) 的面积为2。点 \( {A}_{1},{B}_{1} \) 、 \( {C}_{1} \) 均异于 \( A, B \) 和 \( C \) ，分别位于边 \( {CA},{AB} \) 、 \( {BC} \) 的延长线上，且 \( A{A}_{1} = {3CA}, B{B}_{1} \) \( = {AB}, C{C}_{1} = {2BC} \) 。求 \( \Delta {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} \) 的面积。
(A) 36 (B) 64 (C) 25 (D) 20 (E) 28
解答:(A)。
连接 \( {B}_{1}C \) 。
因为 \( {AB} = B{B}_{1},{S}_{{\Delta B}{B}_{1}C} = {S}_{\Delta ABC} = 2 \) 。
由于 \( C{C}_{1} = {2BC},{S}_{\Delta {B}_{1}C{C}_{1}} = 2{S}_{{\Delta B}{B}_{1}C} = 4 \) 。
因此 \( {S}_{{\Delta B}{B}_{1}{C}_{1}} = 6 \) 。同理， \( {S}_{\Delta {A}_{1}C{C}_{1}} = {16} \) 和 \( {S}_{\Delta {4}_{1}{B}_{1}A} = {12} \)
\( {S}_{\Delta {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}} = 2 + 6 + {16} + {12} = {36}. \)
例17.(2004 AMC 10 B)在直角三角形 \( {\Delta ACE} \) 中，我们有 \( {AC} = {12},{CE} = \) 16，且 \( {EA} = {20} \) 。点 \( B, D \) 、 \( F \) 分别位于 \( {AC} \) 、 \( {CE} \) 和 \( {EA} \) 上，使得 \( {AB} = 3,{CD} = 4 \) ，且 \( {EF} \) \( = 5 \) 。求 \( \bigtriangleup {BDF} \) 与 \( \bigtriangleup {ACE}? \) 的面积之比(A) \( \frac{1}{4} \) (B) \( \frac{9}{25} \) (C) \( \frac{3}{8} \) (D) \( \frac{11}{25} \) (E) \( \frac{7}{16} \)
解答:(E)。
方法1(官方解答):
注意到 \( {\Delta ABF},{\Delta BCD} \) 和 \( {\Delta DEF} \) 各自都有一组底和高，其底和高分别对应 \( {\Delta ACE} \) 的底和高，即 \( 3/4 \) 和 \( 1/4 \) 。因此 \( {\Delta BDF}/ \) 的面积与 \( {\Delta ACE} = 1 - 3\left( {1/4}\right) \left( {3/4}\right) = 7/{16} \) 的面积相等。
\[ \frac{{S}_{\Delta CDT}}{{S}_{\Delta BDT}} = \frac{b}{a} = \frac{CD}{BD}. \]
\[ \frac{a + b}{c} = \frac{BT}{TE} = \frac{4}{1} \]
\[ \Rightarrow \;a = {4c} - b \tag{1} \]
\[ \frac{d + c}{b} = \frac{AT}{TD} = \frac{3}{1} \tag{2} \]
\[ \frac{e}{d} = \frac{BT}{TE} = \frac{4}{1} \]
\[ \frac{e}{a} = \frac{AT}{TD} = \frac{3}{1} \]
于是 \( {4d} = {3a}\; \Rightarrow \;d = \frac{3}{4}a \) (3)将(3)代入(2): \( \frac{3}{4}a + c = {3b} \) (4)(4) \( \times 4 : {3a} + {4c} = {12b} \) (5)(5)+(1): \( {4a} + {4c} = {4c} - b + {12b} \) 例19.(2006 AMC 10 B 第23题)通过从顶点向对边作两条线段，将一个三角形分割成三个三角形和一个四边形。三个
三角形的面积分别为3、7和7，如图所示。求阴影四边形的面积。
(A)15(B)17(C)35/2(D)18(E)55/3
解答:(D)。
方法1(官方解答):
将四边形分割成两个三角形，并设这两个三角形的面积分别为 \( R \) 和 \( S \) ，如图所示。则所求面积为 \( T = R + S \) 。
设 \( a \) 和 \( b \) 分别为面积为 \( R \) 和3的两个三角形的底，如图所示。若两个三角形的高相同，则它们的面积之比等于底之比。
\[ \text{Thus}\frac{a}{b} = \frac{R}{3} = \frac{R + S + 7}{3 + 7}\text{, so}\frac{R}{3} = \frac{T + 7}{10}\text{.} \]
\[ \text{Similarly,}\frac{S}{7} = \frac{S + R + 3}{7 + 7}\text{, so}\frac{S}{7} = \frac{T + 3}{14}\text{.} \]
\[ \text{Thus}T = R + S = 3\left( \frac{T + 7}{10}\right) + 7\left( \frac{T + 3}{14}\right) \]
由此可得 \( {10T} = 3\left( {T + 7}\right) + 5\left( {T + 3}\right) = {8T} + {36} \) ，进而得到 \( T = \) 18。
方法二(我们的解法):
连接 \( {ED}.\frac{{S}_{\bigtriangleup {ABD}}}{{S}_{\bigtriangleup {CBD}}} = \frac{AD}{DC} = \frac{{S}_{\bigtriangleup {AED}}}{{S}_{\bigtriangleup {CED}}} \Rightarrow \frac{3 + x + y}{7 + 7} = \frac{x}{y + 7} \) (1)
\( \frac{{S}_{\bigtriangleup {CBO}}}{{S}_{\bigtriangleup {EBO}}} = \frac{CO}{OE} = \frac{{S}_{\bigtriangleup {CDO}}}{{S}_{\bigtriangleup {EDO}}} \Rightarrow \;\frac{7}{3} = \frac{7}{y} \Rightarrow \;y = 3 \)
将 \( y \) 的值代入(1): \( \frac{3 + x + 3}{14} = \frac{x}{3 + 7}\; \Rightarrow x = {15} \) 。
答案是 \( x + y = {15} + 3 = {18} \) 。
例20.(AIME)如右图所示， \( {\Delta ABC} \) 被从顶点出发并经过同一内部点的直线分割成六个小三角形。其中四个三角形的面积已标出。求 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的面积。
解答:315。
方法一(官方解法):
设两个未知三角形的面积分别为 \( x \) 和 \( y \) 。
根据定理9:
\[ \frac{40}{30} = \frac{{40} + y + {84}}{{30} + {35} + x} \tag{1} \]
\[ \frac{35}{x} = \frac{{35} + {30} + {40}}{x + {84} + y} \tag{2} \]
\[ \frac{84}{y} = \frac{{84} + x + {35}}{y + {40} + {30}} \tag{3} \]
解得: \( x = {70}, y = {56} \) 。
面积即为 \( {30} + {35} + {70} + {84} + {56} + {40} = {315} \) 。
方法二(我们的解法):
我们按图中所示给点标号为 \( D \) 和 \( E \) 。
观察三角形 \( {ADC} \) 和 \( {BDC} \) ，根据定理5，我们有
\[ \frac{{84} + m}{n + {35}} = \frac{40}{30} \tag{1} \]
观察三角形 \( {ADB} \) 和 \( {DEB} \) ，根据定理3，我们有
\[ \frac{AD}{DE} = \frac{{40} + {30}}{35} = 2. \]
观察三角形 \( {ADC} \) 和 \( {DEC} \) ，根据定理3，我们有
\( \frac{m + {84}}{n} = \frac{AD}{DE} = 2\; \Rightarrow {84} + m = {2n} \) (2)
将(2)代入(1)，得到: \( \frac{2n}{n + {35}} = \frac{4}{3} \Rightarrow {6n} = {4n} + {140} \Rightarrow n = {70} \) 。
将 \( n = {70} \) 代入(2)，得到 \( m = {56} \) 。
因此 \( {\Delta ABC} \) 的面积为 \( {84} + {40} + {30} + {35} + {126} = {315} \) 。
例21. 三角形 \( {ABC} \) 被分成四部分，其中三部分的面积如图所示。求四边形AEFD的面积。
(B) 26 (C) 22 (D) 20 (E) 28
解答:(C)。
连接 \( {AF} \) 。
\( \frac{{S}_{\bigtriangleup {ABF}}}{{S}_{\bigtriangleup {BFC}}} = \frac{{S}_{\bigtriangleup {AFD}}}{{S}_{\bigtriangleup {FDC}}}\; \Rightarrow \;\frac{5 + x}{10} = \frac{y}{8} \)
同理，我们有 \( \frac{{S}_{\Delta ACF}}{{S}_{\Delta BCF}} = \frac{{S}_{\Delta AEF}}{{S}_{\Delta EFB}} \Rightarrow \frac{8 + y}{10} = \frac{x}{5} \)
解方程组，得到 \( x = {10} \) 和 \( y = {12} \) 。 \( {AEFD} \) 的面积为22。
例22. 如图所示， \( {ABC} \) 是一个三角形。 \( M \) 和 \( N \) 分别是 \( {AC} \) 和 \( {BC} \) 上的点。 \( {BM} \) 和 \( {AN} \) 相交于 \( O \) 。三角形 \( {OMA} \) 的面积为 \( {S}_{\Delta OMA} = 6 \) 。三角形 \( {OAB} \) 的面积为
\( {S}_{\Delta OAB} = 4 \) 。三角形 \( {OBN} \) 的面积为 \( {S}_{\Delta OBN} = 2 \) 。 \( \bigtriangleup {CMN} \) 的面积是多少？
(C) 42
解答:(A)。
方法一:
\( \frac{{S}_{\bigtriangleup {OAB}}}{{S}_{\bigtriangleup {OMA}}} = \frac{BO}{OM} = \frac{{S}_{\bigtriangleup {OBN}}}{{S}_{\bigtriangleup {ONM}}} \) 。所以 \( \frac{{S}_{\bigtriangleup {OAB}}}{{S}_{\bigtriangleup {OMA}}} = \frac{{S}_{\bigtriangleup {OBN}}}{{S}_{\bigtriangleup {ONM}}} \)
\( \Rightarrow \;\frac{4}{6} = \frac{2}{{S}_{\Delta ONM}} \Rightarrow {S}_{\Delta ONM} = 3 \) .
我们考察三角形 \( {ABM} \) 和 \( {MBC} : \frac{{S}_{\Delta ABM}}{{S}_{\Delta MBC}} = \frac{AM}{MC} \) 。
我们考察三角形 \( {ANM} \) 和 \( {MNC} : \frac{{S}_{\Delta ANM}}{{S}_{\Delta MNC}} = \frac{AM}{MC} \)
所以我们有 \( \frac{{S}_{\Delta ABM}}{{S}_{\Delta MBC}} = \frac{{S}_{\Delta ANM}}{{S}_{\Delta MNC}} \Rightarrow \frac{4 + 6}{2 + 3 + x} = \frac{6 + 3}{x} \Rightarrow x = {45} \) 方法2:
\[ {S}_{\Delta OMN} = 3\text{.} \]
\[ \frac{{S}_{\bigtriangleup {ABN}}}{{S}_{\bigtriangleup {ANC}}} = \frac{BN}{NC} = \frac{{S}_{\bigtriangleup {MBN}}}{{S}_{\bigtriangleup {MNC}}} \Rightarrow \;\frac{4 + 2}{6 + 3 + x} = \frac{2 + 3}{x} \Rightarrow \;\frac{6}{9 + x} = \frac{5}{x} \Rightarrow x = {45}. \]
方法3:
\[ {S}_{\Delta OMN} = 3\text{.} \]
\[ \frac{{S}_{\bigtriangleup {ABM}}}{{S}_{\bigtriangleup {ANM}}} = \frac{BC}{NC} = \frac{{S}_{\bigtriangleup {BMC}}}{{S}_{\bigtriangleup {NMC}}} \Rightarrow \;\frac{4 + 6}{6 + 3} = \frac{2 + 3 + x}{x}\; \Rightarrow \;\frac{10}{9} = \frac{5 + x}{x} \Rightarrow x = {45}. \]
方法2(官方解法):
\( {\Delta ACE} \) 的面积为 \( \left( {1/2}\right) \left( {12}\right) \left( {16}\right) = {96} \) 。作 \( {FQ} \bot {CE} \) 。由相似三角形， \( {FQ} = 3 \) 和 \( {QE} = 4 \) 。梯形 \( {BCQF} \) 的面积为 \( \left( {1/2}\right) \left( {3 + 9}\right) \left( {12}\right) = {72} \) 。由于 \( {\Delta BCD} \) 和 \( \bigtriangleup {FDQ} \) 的面积分别为18和12， \( {\Delta BDF} \) 的面积为 \( {72} - {18} - {12} = {42} \) 。所求比值为 \( {42}/{96} = \) \( 7/{16} \) 。
方法3(我们的解法):
\( {\Delta ACE} \) 的面积为 \( \left( {1/2}\right) \left( {12}\right) \left( {16}\right) = {96} \) 。作 \( {FG}//{CE} \) 。三角形 \( {AGF} \) 是一个9-12-15的直角三角形。因此 \( {GF} = {12} \) 且 \( {GC} \) \( = 3 \) 。三角形 \( {ABF} \) 的面积为 \( \left( {1/2}\right) \left( 3\right) \left( {12}\right) = {18} \) 。三角形 \( {DEF} \) 的面积也是 \( \left( {1/2}\right) \left( {12}\right) \left( 3\right) = {18} \) 。三角形 \( {BCD} \) 的面积为 \( \left( {1/2}\right) \left( 4\right) \left( 9\right) = {18} \) 。 \( {\Delta BDF} \) 的面积为 \( {96} - \) \( {18} \times 3 = {42} \) 。所求比值为 \( {42}/{96} = 7/{16} \) 。
例18.(2004 AMC 10B第20题)在 \( \bigtriangleup {ABC} \) 中，点 \( D \) 和 \( E \) 分别位于 \( {BC} \) 和 \( {AC} \) 上。设 \( {AD} \) 与 \( {BE} \) 交于 \( \mathrm{T} \) ，使得 \( {AT}/{DT} = 3 \) 且 \( {BT}/{ET} = 4 \) 。求 \( {CD}/{BD} \) 的值。
(A) \( \frac{1}{8} \) (B) \( \frac{2}{9} \) (C) \( \frac{3}{10} \) (D) \( \frac{4}{11} \) (E) \( \frac{5}{12} \)
解答:(D)。
方法1(官方解法):
设 \( s = \) 面积 \( \left( {\Delta ABC}\right) \) 。则面积 \( \left( {\Delta TBC}\right) = \frac{1}{4}s \) 和面积 \( \left( {\Delta ATC}\right) = \frac{1}{5}s \) ，所以
面积 \( \left( {\Delta ATB}\right) = \) 面积 \( \left( {\Delta ABC}\right) - \) 面积 \( \left( {\Delta TBC}\right) - \) 面积 \( \left( {\Delta ATC}\right) = \frac{11}{20}s \) 。
因此
\( {CD}/{BD} = \) 区域 \( \left( {\Delta ADC}\right) / \) 区域 \( \left( {\Delta ABD}\right) = \) 区域 \( \left( {\Delta ATC}\right) / \) 区域 \( \left( {\Delta ATB}\right) = \)
\( \left( {s/5}\right) /\left( {{11s}/{20}}\right) = 4/{11} \) .
方法2(我们的解法):
连接 \( {CT} \) 。按图中所示标记每个区域的面积。
问题
问题1. 在所示图形中， \( \angle A = {90}^{ \circ }.D \) 和 \( E \) 分别是 \( {AB} \) 和 \( {AC} \) 上的点。 \( {DM} = {EN} = 2 \) 。若三角形 \( {CMD} \) 的面积是角 \( {ABC} \) 面积的 \( 1/5 \) ，且三角形 \( {BNE} \) 的面积是三角形 \( {ABC} \) 面积的 \( 1/4 \) ，求三角形 \( {3C} \) 的面积。
A) \( 4\sqrt{5} \) (B) \( 2\sqrt{5} \) (C) \( 8\sqrt{5} \) (D) 9 (E) 10
问题2. 在下图中，一个5英寸×5英寸的正方形与一个16英寸×6英寸的正方形相邻。阴影区域的面积是多少？
(A) \( \frac{200}{21} \) (B) \( \frac{325}{21} \) (C) \( \frac{245}{16} \) (D) \( \frac{25}{2} \) (E) 12
问题3. 在图中， \( {AC} = 6\mathrm{\;{cm}},{CD} = 4\mathrm{\;{cm}} \) ，且 \( {DE} = 3\mathrm{\;{cm}} \) 。求三角形 \( {ABC} \) 的面积(平方厘米)。
(A) \( \frac{36}{25} \) (B) 9 (C) \( \frac{17}{2} \) (D) \( \frac{216}{25} \) (E) \( \frac{25}{36} \)
问题4. 在 \( {\Delta ABC} \) 中，画出的线段分别平行于各边，将三角形分成六个区域。图中已给出三个区域的面积。求 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的总面积。
(A) 144 (B) 72 (C) 64 (D)81(E)70
问题5. 在 \( \bigtriangleup {ABC} \) 中，我们有 \( {AB} = 2 \) ，且 \( {AC} = 3 \) 。I、II、III分别是边长为 \( {AB},{BC} \) 、 \( {CA} \) 的正方形。阴影区域之和的最大可能值是多少？
(A) 6 (B) 9 (C) 18 (D) 12 (E) 10
问题6.(2010年Mathcounts州级冲刺赛第30题)点 \( D \) 位于等边三角形 \( {ABC} \) 的边 \( {AC} \) 上，使得角 \( {DBC} \) 的度数为45度。求三角形 \( {ADB} \) 的面积与三角形 \( {CDB} \) 的面积之比。答案用最简根式分数表示。
问题7. 一个三角形的三边长分别为12、17和25单位。其外接圆的半径是多少？答案用普通分数表示。(A) \( {85}/6 \) (B) \( {79}/6 \) (C) 69/7 (D) 89/9 (E) 15
问题8.(2009年全国冲刺赛第25题)某三角形的三边长分别为2、5和 \( x \) 单位，其面积为 \( x \) 平方单位。求 \( x \) 的值，并以最简根式表示答案。
问题9. 如图所示，将两个正方形拼接在一起。 \( {FE} = {20} \) 和 \( {AB} = {15} \) 。连接 \( {EG},{ED} \) 和 \( {DG} \) 。求阴影部分的面积。
(C) 228 (D) 200 (E) 256
问题10. 如图所示， \( {\Delta ABC} \) 是一个钝角三角形。 \( M \) 是 \( {BC}.{AE} \bot {AC}.{MD}//{AE} \) 的中点。若 \( {\Delta ABC} \) 的面积为2016，求 \( {\Delta CDE} \) 的面积。
(A) 1008 (B) 502 (C) 252 (D) 200 (E) 256
问题11.(1995年中国希望杯数学竞赛)如图所示，三角形 \( {ABC} \) 的面积为18。点 \( D, E \) 和 \( F \) 分别位于边 \( {AB},{BC} \) 和 \( {AC} \) 上，且 \( {AD} = 4,{DB} = 5 \) 。若三角形 \( {ABE} \) 与四边形 \( {DBEF} \) 面积相等，求三角形 \( {ABE} \) 的面积。
(A) 10 (B) 5 (C) \( 9/5 \) (D)2(E)6
问题12. 如图所示， \( {BC} = {CE},{AD} = {CD} \) 。若三角形 \( {ABC} \) 的面积为200，求三角形 \( {CDE} \) 的面积。
(A) 100 (B) 102 (C) 152 (D) 120 (E) 125
问题13. 如图所示， \( {S}_{\bigtriangleup {ABC}} = {120},{AE} = {ED} \) 和 \( {AF} = \frac{1}{2}{FC} \) 。求阴影部分的面积。
(A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 18 (E) 20
问题14.(AMC)若 \( {ABCD} \) 是一个 \( 2 \times 2 \) 正方形， \( E \) 是 \( \overline{AB}, F \) 的中点， \( \overline{BC},\overline{AF} \) 是 \( \overline{DE} \) 的中点，且 \( I \) 与 \( \overline{BD} \) 相交于 \( \overline{AF} \) ， \( H \) 与 \( {BEIH} \) 相交于
(A) \( \frac{1}{3} \) (B) \( \frac{2}{5} \) (C) \( \frac{7}{15} \) (D) \( \frac{8}{15} \) (E) \( \frac{3}{5} \)
问题15. 图中三角形 \( {ABC} \) 的面积为1。点 \( {A}_{1},{B}_{1} \) 、 \( {C}_{1} \) 均异于 \( A, B \) 和 \( C \) ，分别位于边 \( {CA},{AB} \) 、 \( {BC} \) 的延长线上，且 \( A{A}_{1} = {2CA} \) 、 \( B{B}_{1} = {2AB}, C{C}_{1} = {2BC} \) 。求 \( \Delta {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} \) 的面积。
(A) 16 (B) 17 (C) 15 (D) 12 (E) 19
问题16. 在直角三角形 \( \bigtriangleup {ACE} \) 中，已知 \( {AC} = {15},{CE} = {20} \) ，且 \( {EA} = {25} \) 。点 \( B, D \) 和 \( F \) 分别位于 \( {AC},{CE} \) 和 \( {EA} \) 上，使得 \( {AB} = 3,{CD} = 4 \) ，且 \( {EF} = 5 \) 。 \( \bigtriangleup {BDF} \) 的面积与 \( \bigtriangleup {ACE}? \) 的面积之比是多少？
(A) \( \frac{13}{25} \) (B) \( \frac{12}{29} \) (C) \( \frac{13}{30} \) (D) \( \frac{39}{76} \) (E) \( \frac{1}{2} \)
问题17. 在 \( \bigtriangleup {ABC} \) 中，点 \( D \) 和 \( E \) 分别位于 \( {BC} \) 和 \( {AC} \) 上。设 \( {AD} \) 与 \( {BE} \) 交于 \( \mathrm{T} \) ，使得 \( {AT}/{DT} = 3 \) 且 \( {BT}/{ET} = 4 \) 。 \( {AE}/{EC} \) 的值是多少？
(A) \( \frac{11}{5} \) (B) \( \frac{12}{5} \) (C) \( \frac{13}{5} \) (D) \( \frac{4}{3} \) (E) \( \frac{5}{2} \)
问题18. 如图所示， \( \bigtriangleup {ABC} \) 被分割成三个小三角形和一个四边形。三个三角形的面积已给出。求四边形 \( {ADOE} \) 的面积。
(A) \( \frac{39}{5} \) (B) \( \frac{21}{5} \) (C) \( \frac{18}{5} \) (D) 8 (E) \( \frac{63}{10} \)
问题19. 如图所示， \( \bigtriangleup {ABC} \) 被从顶点出发并经过同一内部点的直线分割成六个小三角形。其中四个三角形的面积已给出。求 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的面积。
(A) 316 (B) 317 (D) 312 (E) 319
问题20. 如图所示， \( D \) 和 \( F \) 分别是 \( {AC} \) 和 \( {BC} \) 上的点， \( \bigtriangleup {ABC}.{AF} \) 与 \( {BD} \) 交于 \( E.{AD} : {DC} \) \( = 1 : 2.{BE} = {ED} \) 。求 \( {BF} : {FC} \) 的值。
(A) \( \frac{3}{5} \) (B) \( \frac{2}{5} \) (C) \( \frac{1}{5} \) (D) \( \frac{1}{3} \) (E) \( \frac{3}{10} \)
问题21. 如图所示， \( E \) 和 \( D \) 分别是 \( {AB} \) 和 \( {AC} \) 上的点。 \( {\Delta ABC} \) 被分割成三个小三角形和一个四边形。 \( {AE} : {BE} = 2.{AD} : {DC} = 1 : 2 \) 。若 \( {\Delta ABC} \) 的面积为42，求四边形 \( {AEFD} \) 的面积。
(A) 16 (B) 14 (C) 13 (D) 12 (E) 19
问题22. 如图所示， \( E \) 和 \( D \) 分别是 \( {AB} \) 和 \( {AC} \) 上的点。 \( {\Delta ABC} \) 被分割成三个小三角形和一个四边形。 \( {AE} = {EB}.{AD} : {DC} = 1 : 2 \) 。若 \( {\Delta ABC} \) 的面积为90，求四边形 \( {AEFD} \) 的面积。
(A) 21 (B) 24 (C) 23 (D) 22 (E) 19
问题23。如图所示， \( {ABCD} \) 为一平行四边形。 \( O \) 为 \( {AC} \) 的交点， \( {BD}.E \) 位于 \( {AB} \) 的延长线上。连接 \( {OE} \) 与 \( {BC} \) 交于 \( F \) 。 \( {AB} = 5,{AD} = 4 \) ，且 \( {BE} = 3 \) 。求 \( {BF} \) 的长度。
(A) \( {17}/{11} \) (B) \( {14}/{11} \) (C) \( {15}/{11} \) (D) \( {13}/{11} \) 12/11
解答:
问题1。答案:(A)。
\( {\Delta CDM} \sim {\Delta CBA},{\left( \frac{DM}{AB}\right) }^{2} = \frac{{S}_{\bigtriangleup {CMD}}}{{S}_{\bigtriangleup {ABC}}} = \frac{1}{5}\; \Rightarrow {DM} = \frac{\sqrt{5}}{5}{AB}\; \Rightarrow {AB} = 2\sqrt{5} \)
\( {\Delta BEN} \sim {\Delta BCA},\;{\left( \frac{EN}{AC}\right) }^{2} = \frac{{S}_{\Delta BEN}}{{S}_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4}\; \Rightarrow {EN} = \frac{1}{2}{AC}\; \Rightarrow {AC} = 4 \) .
三角形 \( {ABC} \) 的面积为: \( \frac{1}{2}{AB} \times {AC} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} \times 4 = 4\sqrt{5} \) 。
问题2。答案:(B)。
\[ \frac{{S}_{\Delta DGF}}{{S}_{\Delta AHF}} = {\left( \frac{GF}{HF}\right) }^{2} = {\left( \frac{5}{21}\right) }^{2} = \frac{25}{{21} \times {21}} \]
\[ {S}_{\bigtriangleup {DGF}} = \frac{25}{{21} \times {21}} \times {S}_{\bigtriangleup {AHF}} = \frac{25}{{21} \times {21}} \times \frac{{16} \times {21}}{2} = \frac{200}{21} \]
因此，阴影区域 \( {CDEF} \) 的面积为 \( {5}^{2} - \frac{200}{21} = \frac{325}{21} \) 。
问题3。解答:(D)。
我们知道 \( {CE} = 5 \) ( \( {\Delta EDC} \) 是一个 \( 3 - 4 - 5 \) 直角三角形)。
\[ {S}_{\Delta CDE} = \frac{1}{2}{CD} \times {DE} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \]
\[ \frac{{S}_{\bigtriangleup {ABC}}}{{S}_{\bigtriangleup {CDE}}} = {\left( \frac{6}{5}\right) }^{2} = \frac{36}{25}\; \Rightarrow \;{S}_{\bigtriangleup {ABC}} = \frac{36}{25} \times {S}_{\bigtriangleup {CDE}} = \frac{36}{25} \times 6 = \frac{216}{25}. \]
问题4。解答:(A)。
\[ {S}_{\Delta ABC} = {\left( \sqrt{{S}_{1}} + \sqrt{{S}_{2}} + \sqrt{{S}_{3}}\right) }^{2} = {\left( \sqrt{25} + \sqrt{9} + \sqrt{16}\right) }^{2} = {\left( 5 + 3 + 4\right) }^{2} = {144}\text{.} \]
问题5。解答:(B)。
在 \( \bigtriangleup {ADE} \) 和 \( \bigtriangleup {ABC},\angle \bigtriangleup {BAC} + \angle {DAE} = {180}^{ \circ } \) 中。
我们知道 \( {AC} = {AD},{AB} = {AE} \) ，所以 \( {S}_{\Delta ADE} = {S}_{\Delta ABC} \) ，
同样，每个阴影区域的面积与 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的面积相同。
三个阴影区域的总和为 \( S \) ，且
\[ S = 3{S}_{\bigtriangleup {ABC}}\text{.} \]
\[ = 3 \times \frac{1}{2}{AB} \times {AC}\sin \angle {BAC} \leq \frac{1}{2}{AB} \times {AC}\sin {90}^{ \circ }. \]
\[ = 3 \times \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times 1 = 9\text{. } \]
问题6。解答: \( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \) 。
在 \( E \) 处作 \( {BE} \bot {AC} \) 。我们得到 \( \angle {DBE} = {15}^{ \circ } \) 。设三个区域的面积分别为 \( {S}_{1},{S}_{2} \) 和 \( {S}_{3} \) 。设三角形边长为1。于是我们有 \( {BE} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 。
\( \frac{{S}_{2}}{{S}_{3}} = \frac{\frac{1}{2}{BE} \times {BD} \times \sin {15}^{ \circ }}{\frac{1}{2}{AB} \times {BD} \times \sin {15}^{ \circ }} = \frac{BE}{AB} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) (1)由(1)得 \( {S}_{2} = \frac{\sqrt{3}{S}_{3}}{2} \) (2)我们知道 \( {S}_{3} + {S}_{2} = {S}_{1} \) (3)将(2)代入(3): \( {S}_{3} + \frac{\sqrt{3}{S}_{3}}{2} = {S}_{1} \Rightarrow {S}_{3}\left( {1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}\right) = {S}_{1} \Rightarrow \frac{{S}_{1}}{{S}_{3}} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \) (4)(1) \( + \left( 4\right) : \frac{{S}_{1} + {S}_{2}}{{S}_{3}} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} + 1 \) 。
答案为 \( \frac{{S}_{3}}{{S}_{1} + {S}_{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\left( \sqrt{3} - 1\right) }{\left( {\sqrt{3} + 1}\right) \left( {\sqrt{3} - 1}\right) } = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \) 。
问题7。解答:(A)。
三角形的面积为:
\[ {S}_{\Delta } = \sqrt{s\left( {s - a}\right) \left( {s - b}\right) \left( {s - c}\right) }\text{, where}s = \frac{1}{2}\left( {a + b + c}\right) = \frac{1}{2}\left( {{12} + {17} + {25}}\right) = {27}\text{.} \]
\[ \text{So}{S}_{\Delta } = \sqrt{s\left( {s - a}\right) \left( {s - b}\right) \left( {s - c}\right) } = \sqrt{{27}\left( {{27} - {12}}\right) \left( {{27} - {17}}\right) \left( {{27} - {25}}\right) } \]
\[ = \sqrt{{27} \times {15} \times {10} \times 2} = {90}\text{.} \]
\[ {S}_{\Delta } = \frac{abc}{4R}\; \Rightarrow \;{90} = \frac{{12} \times {17} \times {25}}{4R}\; \Rightarrow \;R = \frac{{12} \times {17} \times {25}}{4 \times {90}} = \frac{85}{6} \]
问题8. 解答: \( \sqrt{21} \) 。
根据海伦公式(Heron’s formula)，边长分别为 \( a, b \) 和 \( c \) 的三角形面积为:
\( A = \sqrt{s\left( {s - a}\right) \left( {s - b}\right) \left( {s - c}\right) } \) ，其中 \( s = \frac{1}{2}\left( {a + b + c}\right) \) 。
在本题中， \( s = \frac{1}{2}\left( {2 + 5 + x}\right) = \frac{7 + x}{2} \) 。我们可以列出如下方程:
\[ x = \sqrt{\left( \frac{7 + x}{2}\right) \left( {\frac{7 + x}{2} - 2}\right) \left( {\frac{7 + x}{2} - 5}\right) \left( {\frac{7 + x}{2} - x}\right) } \]
两边平方并化简: \( {x}^{2} = \left( \frac{7 + x}{2}\right) \left( {\frac{7 + x}{2} - 2}\right) \left( {\frac{7 + x}{2} - 5}\right) \left( {\frac{7 + x}{2} - x}\right) \)
两边同乘16得:
\( \left( {7 + x}\right) \left( {x + 3}\right) \left( {x - 3}\right) \left( {7 - x}\right) = {16}{x}^{2}\; \Rightarrow \;\left( {{49} - {x}^{2}}\right) \left( {{x}^{2} - 9}\right) = {16}{x}^{2} \)
设 \( {x}^{2} = y \) ，则有:
\( \left( {{49} - y}\right) \left( {y - 9}\right) = {16y}\; \Rightarrow \;{49y} - {49}\left( 9\right) - y\left( y\right) + {9y} = {16y}\; \Rightarrow \)
\[ {y}^{2} - {42y} + {49} \times 9 = 0 \Rightarrow \;{\left( y - {21}\right) }^{2} = 0 \]
\( y = {21} \) 或 \( {x}^{2} = {21} \Rightarrow x = \sqrt{21} \) (注意 \( x = - \sqrt{21} \) 不成立。)
问题9. 解答:(D)。
连接 \( {BD} \) ，已知 \( {DB}//{GE} \) 。因此三角形 \( {GHD} \) 的面积与三角形 \( {BEH} \) 的面积相等。阴影区域三角形 \( {EDG} \) 的面积与三角形 \( {BEG} \) 的面积相同，即为 \( {20} \times {20} \div 2 \) \( = {200} \) 。
问题10. 解答:(A)。
连接 \( {MA} \) (图1)。
由于 \( {MD} \) 与 \( {AE} \) 平行，图2中的着色区域面积相等。 \( \bigtriangleup {CDE} \) 的面积与 \( \bigtriangleup {CMA} \) 的面积相同(图3)，且为 \( {\Delta ABC} \) 面积的一半。答案为 \( {2016}/2 = {1008} \) 。
图1
图2
图3
问题11。解答:(A)。
连接 \( {DE} \) 和 \( {DC} \) 。
我们知道 \( {S}_{\Delta DBEF} = {S}_{\Delta 4BE} \) 。因此 \( {S}_{\Delta 4DE} = {S}_{\Delta EDF} \)
根据定理4(b)， \( {DE}//{AC} \) 。因此 \( {S}_{\Delta 4DE} = {S}_{\Delta CDE} \) ，
\( {S}_{\Delta ABE} = {S}_{\Delta BDC}. \)
由于 \( {AD} = 4 \) 且 \( {DB} = 5,{S}_{\Delta BDC} = \frac{5}{9}{S}_{\Delta 4BC} = {10}{\mathrm{\;{cm}}}^{2} \) 。
所以 \( {S}_{\Delta 4BE} = {10}{\mathrm{\;{cm}}}^{2} \) 。
问题12。解答:(A)。
连接 \( {BD} \) 。
由于三角形 \( {ABC} \) 与三角形 \( {ABD} \) 具有相同的高，且 \( {DC} = \frac{1}{2}{AC},{\Delta BDC} \) 具有相同的面积 \( {200}/2 \) \( = {100} \) 。
同理， \( {\Delta BDC} \) 与 \( {\Delta CDE} \) 面积相同。因此三角形 \( {CDE} = {100} \) 的面积。
问题13。解答:(E)。
连接 \( {CE} \) 。设 \( x \) 表示 \( {\Delta AEF} \) 的面积， \( y \) 表示 \( {\Delta AEB} \) 的面积。由于 \( {AF} = \frac{1}{2}{FC} \) ， \( {\Delta CEF} \) 的面积为 \( {2y} \) 。
由于 \( {AE} = {ED} \) ， \( {\Delta EBD} \) 的面积为 \( y \) ， \( \bigtriangleup {CED} \) 的面积为 \( {3x} \) 。
我们知道 \( \frac{{S}_{\bigtriangleup {AFB}}}{{S}_{\bigtriangleup {FCB}}} = \frac{AF}{FC} = \frac{1}{2},\frac{x + y}{{5x} + y} = \frac{1}{2} \)
\( 2\left( {x + y}\right) = {5x} + y\; \Rightarrow y = {3x}. \)
\( {12x} = {120} \Rightarrow {2x} = {20}. \)
所以答案是20。
问题14。答案:(C)。
已知 \( \bigtriangleup {ADH} \sim \bigtriangleup {FBH} \) 且 \( {AD} = {2BF} \) ，因此 \( {DH} = {2HB} \) 。连接 \( {BI} \) 。设 \( {\Delta BEI} \) 的面积为 \( x \) ， \( {\Delta BHI} \) 的面积为 \( y \) 。我们将各区域标记如下:因此
\[ x + {3y} = 1 \]
\[ {2x} + {2.25y} = 1 \]
解出 \( x \) 、 \( y : x = 1/5 \) 和 \( y = 4/{15} \) 。
四边形 \( {BEIH} \) 的面积为 \( x + y = 7/{15} \) 。
注: \( {AMC} \) 给出了本题的三种解法。上文给出的解法是我们提供的第四种解法。
问题15。答案:(E)。
连接 \( {B}_{1}C \) 。
因为 \( B{B}_{1} = {2AB},{S}_{{\Delta B}{B}_{1}C} = {S}_{\Delta ABC} = 2 \) 。
因为 \( C{C}_{1} = {2BC},{S}_{\Delta {B}_{1}C{C}_{1}} = 2{S}_{{\Delta B}{B}_{1}C} = 4 \) 。
所以 \( {S}_{{\Delta B}{B}_{1}C} = 6 \) 。
同理， \( {S}_{\Delta {A}_{1}C{C}_{1}} = 6 \) 和 \( {S}_{\Delta {A}_{1}{B}_{1}A} = 6 \) 。
\[ {S}_{\Delta {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}} = 1 + 6 + 6 + 6 = {19}. \]
问题16。答案:(A)。
\( \bigtriangleup {ACE} \) 的面积为 \( \left( {1/2}\right) \left( {15}\right) \left( {20}\right) = {150} \) 。作 \( {FG}//{CE} \) 。三角形 \( {AGF} \) 是一个12-16-20的直角三角形。因此 \( {GF} = {16} \) 且 \( {GC} = 3 \) 。三角形 \( {ABF} \) 的面积为 \( \left( {1/2}\right) \left( 3\right) \left( {16}\right) = {24} \) 。三角形 \( {DEF} \) 的面积也是 \( \left( {1/2}\right) \left( {16}\right) \left( 3\right) = {24} \) 。三角形 \( {BCD} \) 的面积为 \( \left( {1/2}\right) \left( 4\right) \left( {12}\right) = {24} \) 。 \( {\Delta BDF} \) 的面积为 \( {150} - {24} \times 3 = {78} \) 。所求比值为 \( {78}/{150} = {13}/{25} \) 。
问题17。答案:(A)。
连接 \( {CT} \) 。按图示标记各区域面积。
\[ \frac{{S}_{\Delta ATE}}{{S}_{\Delta CTE}} = \frac{d}{c} = \frac{AE}{EC}. \]
\[ \frac{a + b}{c} = \frac{BT}{TE} = \frac{4}{1}\; \Rightarrow a + b = {4c} \]
\[ \Rightarrow \;b = {4c} - a \tag{1} \]
\[ \frac{d + c}{b} = \frac{AT}{TD} = \frac{3}{1}\; \Rightarrow \;d + c = {3b} \tag{2} \]
\[ \frac{e}{d} = \frac{BT}{TE} = \frac{4}{1}\; \Rightarrow \;e = {4d} \]
\[ \frac{e}{a} = \frac{AT}{TD} = \frac{3}{1} \]
所以 \( {4d} = {3a} \Rightarrow \;a = \frac{4}{3}d \) (3)
将(3)代入(1): \( b = {4c} - \frac{4}{3}d \) (4)
(4) \( \times 3 : {3b} = {12c} - {4d} \) (5)
将(2)代入(5): \( d + c = {12c} - {4d} \)
问题18。解答:(A)。
方法1:
连接 \( {AO}.\frac{{S}_{\Delta ABO}}{{S}_{\Delta CBO}} = \frac{AD}{DC} = \frac{{S}_{\Delta AOD}}{{S}_{\Delta COD}} \Rightarrow \frac{3 + x}{4} = \frac{y}{2} \) (1)
\( \frac{{S}_{\bigtriangleup {CAO}}}{{S}_{\bigtriangleup {CBO}}} = \frac{AE}{EB} = \frac{{S}_{\bigtriangleup {AOE}}}{{S}_{\bigtriangleup {BOE}}} \Rightarrow \;\frac{2 + y}{4} = \frac{x}{3} \) (2)
解(1)和(2)，得到: \( x = \frac{21}{5} \) 和 \( y = \frac{18}{5} \) 。
答案为 \( x + y = \frac{21}{5} + \frac{18}{5} = \frac{39}{5} \) 。
方法2:
连接 \( {ED}.\frac{{S}_{\Delta ABD}}{{S}_{\Delta CBD}} = \frac{AD}{DC} = \frac{{S}_{\Delta AED}}{{S}_{\Delta CED}} \Rightarrow \)
\( \frac{3 + x + y}{4 + 2} = \frac{x}{y + 2} \) (1)
\( \frac{{S}_{\bigtriangleup {CBO}}}{{S}_{\bigtriangleup {EBO}}} = \frac{CO}{OE} = \frac{{S}_{\bigtriangleup {CDO}}}{{S}_{\bigtriangleup {EDO}}} \Rightarrow \;\frac{4}{3} = \frac{2}{y} \Rightarrow \;y = \frac{3}{2} \) (2)
将y值代入(1): \( \frac{3 + x + \frac{3}{2}}{4 + 2} = \frac{x}{\frac{3}{2} + 2} \Rightarrow x = \frac{63}{10} \) 。
答案为 \( x + y = \frac{63}{10} + \frac{3}{2} = \frac{39}{5} \) 。
方法3:
\( \frac{{S}_{\Delta BEO}}{{S}_{\Delta BAD}} = \frac{\frac{1}{2}{BE} \times {BO}\sin \angle {EBO}}{\frac{1}{2}{BA} \times {BD}\sin \angle {ABD}} = \frac{BE}{BA} \times \frac{{S}_{\Delta BOC}}{{S}_{\Delta BCD}} \)
\[ \frac{3}{3 + x} = \frac{4}{6} \times \frac{BE}{BA} \tag{1} \]
\[ \frac{BE}{BA} = \frac{{S}_{\bigtriangleup {BCE}}}{{S}_{\bigtriangleup {BCA}}} = \frac{7}{9 + x} \tag{2} \]
因此 \( \frac{3}{3 + x} = \frac{4}{6} \times \frac{7}{9 + x} \Rightarrow \;x = \frac{39}{5}.\;m + n = {39} + 5 = {44} \) 。
问题19。解答:(C)。
设 \( x \) 和 \( y \) 为图中各小三角形的面积。
\( \frac{{S}_{\Delta ABO}}{{S}_{\Delta ACO}} = \frac{{S}_{\Delta BOD}}{{S}_{\Delta COD}} \Rightarrow \frac{{84} + x}{{70} + y} = \frac{40}{30} \)
同理，我们有 \( \frac{{S}_{\Delta ABO}}{{S}_{\Delta BCO}} = \frac{{S}_{\Delta AEO}}{{S}_{\Delta CEO}} \)
\( \Rightarrow \frac{{84} + x}{{40} + {30}} = \frac{70}{y} \) 或 \( \frac{{70} + y}{70} = \frac{3}{4}\frac{70}{y} \) 。
\( x = {56} \) 和 \( y = {35} \) 。总面积为 \( {84} + {70} + {40} + {30} + {35} + {56} = {315} \) 。
问题20。答案:(D)。
连接 \( {CE} \) 。
我们按图示标记每条边和每个区域。
因为 \( {BE} = {ED},{S}_{\Delta ABE} = {S}_{\Delta AED} = x \) 。
因为 \( {2AD} = {DC},2{S}_{\Delta AED} = {S}_{\Delta CED} = {2x} \) 。
因此 \( \frac{{S}_{\bigtriangleup {ABE}}}{{S}_{\bigtriangleup {ACE}}} = \frac{BF}{FC} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3} \) 。
问题21。答案:(D)。
我们按图示标记每条边和每个区域。
因为 \( {AE} = {2BE},{2x} = t \) 。
因为 \( {2AD} = {BC},{2y} = z \) 。
\[ \frac{{S}_{\bigtriangleup {ABF}}}{{S}_{\bigtriangleup {CBF}}} = \frac{b}{2b} = \frac{1}{2}\; \Rightarrow \;{S}_{\bigtriangleup {CBF}} = {6x}. \]
\[ {S}_{\Delta CBF} = {7x} = {42}/3 = {14}\; \Rightarrow \;x = 2. \]
\[ {2x} + {3y} = {28} \Rightarrow \;{3y} = {28} - 4 = {24} \Rightarrow y = 8. \]
答案是 \( 4 + 8 = {12} \) 。
问题22。答案:(A)。
我们按图示标记每条边和每个区域。
因为 \( {AE} = {BE}, x = t \) 。
因为 \( {2AD} = {BC},{2y} = z \) 。
\( \frac{{S}_{\Delta ABF}}{{S}_{\Delta CBF}} = \frac{b}{2b} = \frac{1}{2}\; \Rightarrow \;{S}_{\Delta CBF} = {4x}. \)
\[ {S}_{\Delta CBF} = {5x} = {90}/2 = {45}\; \Rightarrow \;x = 9. \]
\( x + {3y} = {45} \Rightarrow {3y} = {45} - 9 = {36} \Rightarrow y = {12}. \)
答案是 \( 9 + {12} = {21} \) 。
问题23。解答:(E)。
连接 \( {CE} \) 。设 \( {BF} = x.\frac{{S}_{\bigtriangleup {OBE}}}{{S}_{\bigtriangleup {OCE}}} = \frac{BF}{FC} = \frac{x}{4 - x} \) 。
因为 \( {AO} = {CO},\frac{{S}_{\bigtriangleup {OCE}}}{{S}_{\bigtriangleup {OBE}}} = \frac{{S}_{\bigtriangleup {AOE}}}{{S}_{\bigtriangleup {OBE}}} = \frac{AE}{BE} = \frac{5 + 3}{3} = \frac{8}{3} \) 。
\( \frac{3}{8} = \frac{x}{4 - x} \Rightarrow 3\left( {4 - x}\right) = {8x}\; \Rightarrow \;{12} - {3x} = {8x} \Rightarrow {12} = {11x} \Rightarrow x = {12}/{11} \)
十进制(BASE 10)数字表示
\[ M = \overline{{a}_{n}{a}_{n - 1}\cdots {a}_{1}{a}_{0}} = {10}^{n}{a}_{n} + {10}^{n - 1}{a}_{n - 1} + \cdots + {10}^{1}{a}_{1} + {10}^{0}{a}_{0} \]
\[ M = \overline{{a}_{n}{a}_{n - 1}\cdots {a}_{1}{a}_{0}} = {10} \times \overline{{a}_{n}{a}_{n - 1}\cdots {a}_{1}} + {a}_{0} \]
\[ M = \overline{{a}_{n}{a}_{n - 1}\cdots {a}_{1}{a}_{0}} = {100} \times \overline{{a}_{n}{a}_{n - 1}\cdots {a}_{2}} + \overline{{a}_{1}{a}_{0}} \]
\[ M = \overline{{a}_{n}{a}_{n - 1}\cdots {a}_{1}{a}_{0}} = {1000} \times \overline{{a}_{n}{a}_{n - 1}\cdots {a}_{3}} + \overline{{a}_{2}{a}_{1}{a}_{0}} \]
\[ M = \overline{{a}_{n}{a}_{n - 1}\cdots {a}_{1}{a}_{0}} = {10}^{k} \times \overline{{a}_{n}{a}_{n - 1}\cdots {a}_{k}} + \overline{{a}_{k - 1}{a}_{k - 2}\cdots {a}_{1}{a}_{0}} \]
\[ M = \overline{2345} = 2 \times {10}^{3} + 3 \times {10}^{2} + 4 \times {10}^{1} + 5 \times {10}^{0} = {2000} + {300} + {40} + 5. \]
\[ M = \overline{2345} = {10} \times \overline{234} + 5 \]
\[ M = \overline{2345} = {100} \times \overline{23} + {45} \]
\[ M = \overline{2345} = {1000} \times \overline{2} + {345} \]